Libellus de quinque corporibus regularibus: uma análise geométrica de piero della francesca

Libellus de quinque corporibus regularibus: uma análise geométrica de piero della francesca

Escola Lourenço Castanho

21 Março 2017 | 10h00

Esta pesquisa tem por objetivo realizar uma análise sobre as influências de escritos euclidianos na composição do tratado Libellus de Quinque Corporibus Regularibus, permeados pelos conhecimentos de ciência da época em que foi produzido. Porém, tal estudo deve ser realizado sob a visão de uma sociedade totalmente diferente da que vivemos hoje.
Deve-se olhar para a política, cultura e economia de uma sociedade para entendermos o desenvolvimento de sua ciência e demais ramos. Por volta do século XV, a região da Península Itálica estava passando por mudanças em sua sociedade. No começo do século XV, essa região não era uma unidade social nem cultural, embora o conceito de Península Itálica já existisse. A localização geográfica foi importante para o desenvolvimento dessa sociedade. Por lá, o comércio era sempre muito ativo, já que ficava entre o Oriente e o Ocidente. A passagem de pessoas e mercadorias permitia que houvesse um ambiente não somente para realização de troca de bens, mas também de ideias. As cidades com suas próprias leis e regimentos eram comuns nessas regiões(1).
A partir de confrontos por terras e províncias, foram se formando burgos, os quais tinham por objetivo a comercialização de objetos, alimentos e armas, já que, geograficamente, era muito difícil a prática da agricultura devido ao seu terreno acidentado ou montanhoso na maior parte do território(2). Com o decorrer do tempo, esses burgos foram se tornando cada vez maiores e mais importantes do ponto de vista comercial e social.
O Renascimento foi uma época importante para o desenvolvimento de uma forma diferente de pensar, comparado ao que acontecia anteriormente em regiões próximas(3). Alguns personagens considerados importantes, por exemplo, possuíam contatos com a sociedade bizantina e trouxeram pensadores para a Península. Tais estudiosos traduziram obras de escritores importantes como Sócrates, Euclides, escritos pitagóricos, entre outros. Nessas obras, estavam contidos pensamentos sobre a realidade e o mundo que os cercavam, muitas vezes, diferentes dos que havia na época do Renascimento. As obras, juntamente com o desenvolvimento socioeconômico, contribuíram para a geração de novas formas de pensar, uma ciência preocupada em descrever a natureza “tal como ela é”(4). Filósofos, influenciados por leituras de manuscritos ou traduções feitas pelos árabes, descobriram ideias diferentes das suas através da Matemática desenvolvida na Grécia, por exemplo — seja aceitando o pensamento antigo ou contrapondo-se a ele(5).

A geometria de corpos regulares, suas propriedades e características, foi um dos assuntos estudados profundamente. E tal influência poderia ter ocorrido por meio do contato com obras platônicas e euclidianas(6) (originais ou traduções) que chegaram às mãos de Piero della Francesca e outros eruditos de sua época.
Piero della Francesca nasceu por volta de 1416, em Borgo Santo Sepolcro, no norte da região da Península Itálica, província de Arezzo. Essa cidade existe até os dias de hoje, mas agora com o nome de Sansepolcro. Sua data de nascimento é incerta, e a estimativa é feita através de documentos em que ele é citado como testemunha de pinturas feitas em sua cidade natal(7).
Piero della Francesca era filho de um mercador próspero. É provável que seu pai o tenha enviado à Escola do Ábaco, para que recebesse instrução suficiente a fim de cuidar dos negócios da família. Essas escolas eram não somente para comerciantes, mas também para artesãos e pintores de seu tempo.
Não se esperava que algum artesão se tornasse um erudito. No entanto, esperava-se que ele fosse competente na realização de seu trabalho, e, para que isso fosse possível, era necessário ter alguns conhecimentos da Matemática desenvolvida até o momento. Pintores também tinham que saber Matemática, pois eles pintavam, muitas vezes, em paredes que não eram exatamente planas, ou seja, as bordas das paredes podiam ser arredondadas. Porém, os problemas de Matemática encontrados nos livros usados nas Escolas do Ábaco normalmente eram direcionados a mercadores e não a pintores. Escolas desse tipo parecem terem sido feitas “sob medida” para algumas guildas e autoridades comerciais. Aparentemente, essas escolas eram responsáveis por formar pessoas capazes de lidar com o comércio entre pessoas do próprio país e pessoas que circulavam pela região da península itálica(8).
Na Escola do Ábaco estudavam-se muitos exemplos aritméticos de problemas que outras pessoas já se haviam deparado, como, por exemplo, o problema da taxa sobre áreas cultivadas. Os alunos normalmente copiavam esses problemas, e o professor ditava outros semelhantes, dizendo de que forma se poderia solucioná-los. Em relação à geometria, seu ensino estava ligado tanto às aplicações práticas como, por exemplo, ao cálculo de área de terrenos, quanto a problemas retirados de escritos de Euclides que chegavam até eles. Porém, transformavam os problemas geométricos em aritméticos. Já nas Universidades, estudavam-se os primeiros livros de Euclides (Os Elementos), de forma abstrata, ou seja, com generalizações, assim como são feitas em seus escritos, e problemas aritméticos abstratos também, sem que houvesse a necessidade de aplicá-los. Normalmente, os livros direcionados às Escolas do Ábaco eram escritos em língua vernácula, e os direcionados às Universidades, em latim. A primeira era considerada uma Matemática de nível inferior, e essa última, superior(9).
Pensando nos diversos conhecimentos que circulavam na região de Borgo Santo Sepolcro, pretende-se compreender, também, as classificações das ciências em seu tempo, com quais conhecimentos Piero della Francesca teve contato, de que forma entendia essa classificação e como influenciou ao escrever seu tratado em geometria, Libellus de Quinque Corporibus Regularibus.
Piero della Francesca escreveu três tratados ao longo de sua vida. São eles: Trattado d’Abaco, De Prospectiva Pingendi e Libellus de Quinque Corporibus Regullaribus, nessa ordem. O Tratado d’Abaco descreve cálculos que deveriam ser aprendidos pelos mercadores, ou seja, ele traz noções de aritmética comercial e mercantil, alguns comentários sobre álgebra e, ao final, também, sobre geometria. Esse último tema aparecerá mais profundamente no tratado Libellus de Quinque Corporibus Regullaribus. Disso, supõe-se que aquele tratado tenha sido escrito antes desse e que tenha sido o primeiro deles, já que os registros de seus estudos aparecem nos primeiros anos em que esteve na Escola do Ábaco. O tratado De Prospectiva Pingendi foi escrito entre o Trattado d’Abaco e o Libellus de Quinque Corporibus Regullaribus e, nele, se encontra um estudo sobre a perspectiva e de que forma o pintor poderia usá-la para realizar seu trabalho; esse tratado foi concluído antes de 1482, já que foi dado de presente ao duque de Urbino, Federigo da Montefeltro (1422 – 1482), para que ele o colocasse em sua biblioteca. O último tratado de que temos conhecimento atualmente é o Libellus de Quinque Corporibus Regullaribus, sobre corpos geométricos regulares e irregulares12, que traz uma relação com os estudos iniciais de geometria, presentes no Trattado d’Abaco, mas com maior profundidade nos argumentos sobre suas afirmações. Esse último tratado foi dado a Guidobaldo da Montefeltro (1472 – 1508), filho de Federigo, entre 1482 e 1492.13
Durante sua vida, Piero Della Francesca trabalhou em diversas cidades tais como Urbino, Rimini, Roma, Florença e Ferrara (todas cidades próximas ao norte da Itália, exceto Roma), e para diversas pessoas importantes no cenário político e econômico como, por exemplo, Federigo da Montefeltro, duque de Urbino e patrono das artes14. Entretanto, no final de sua vida, por volta de 1482, comprou uma casa em Rimini e, em 1487, escreveu seu testamento.

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“Fólio 2r” in Libellus de Quinque Corporibus Regularibus.

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“Fólio 40v” in Libellus de Quinque Corporibus Regularibus.

Nessa época, ele ainda não sofria de problemas na visão, os quais o levariam futuramente a se tornar totalmente cego. Piero morreu em 11 de outubro de 1492, em sua cidade natal, onde, de acordo com seus desejos expressos em seu testamento, foi enterrado.
Os estudos em geometria na escola de Ábaco, juntamente com seus trabalhos artísticos e contatos com escritos gregos e traduções árabes sobre o assunto, ajudaram-lhe na construção de seu tratado geométrico. Em seu tratado Libellus de Quinque Corporibus Regularibus, ele usa seus conhecimentos geométricos e de óptica, muito provavelmente baseados em escritos de John Pecham, Alhazen e em escritos de Euclides(10), para sustentar suas construções geométricas em perspectiva e demonstrá-las por meio de argumentos lógicos e dedutivos.
Sabemos que estudos sobre Piero della Francesca e o desenvolvimento de seus tratados na região da Península Itálica têm sido feitos nas mais diversas direções. Field analisou, em diversos artigos, os trabalhos de Piero della Francesca, além de tratar sobre a função do artesão no Renascimento em um de seus livros(11). Tanto no livro quanto nos artigos, há uma descrição dos ramos da sociedade e da forma como influenciou em seus tratados. Ela fez uma análise geométrica, usando a álgebra e a geometria de hoje, sem considerar quais conhecimentos o autor possuía em seu tempo(12). Poderia citar, ainda, Birgit Laskowski(13) e Carlo Ginzburg(14) que estão mais interessados em analisar as obras de Piero della Francesca e suas relações no campo das artes ou Roberto Longhi(15), que, além de escrever uma biografia sobre Piero dela Francesca, analisa como esse homem se desenvolveu e qual foi sua importância para a sociedade por meio de seus trabalhos e ideias.
Por outro lado, esse trabalho se propõe a relacionar os conhecimentos de ciência e as influências dos escritos euclidianos, mais especificamente os conhecimentos em geometria que Piero della Francesca teve durante sua vida e de que forma esses conhecimentos auxiliaram-no a escrever o tratado Libellus de Quinque Corporibus Regularibus.
Para tanto, por meio dos aspectos socioeconômicos e culturais, pretende-se compreender de que forma os escritos euclidianos influenciaram na criação do tratado Libellus de Quinque Corporibus Regularibus, produzido no século XV.
Dessa forma, esse trabalho parte da hipótese de que os conhecimentos geométricos contidos nos escritos euclidianos influenciaram Piero della Francesca ao escrever seu tratado Libellus de Quinque Corporibus Regularibus. Ademais, estudos sobre geometria plana têm sido realizados por diversos estudiosos em épocas distintas e em várias partes do mundo. Alguns se preocuparam em unir os conhecimentos matemáticos que chegaram até o seu tempo como, por exemplo, Euclides, na Grécia por volta de 295 a.C., que escreveu vários volumes sobre cada ramo da Matemática. Entre um desses ramos, estava a geometria que, a partir de seus elementos fundamentais (ponto, reta e plano), criava relações de proporções e medidas como, por exemplo, a comparação entre dois segmentos proporcionais ou as medidas de regiões fechadas (áreas).
O desenvolvimento dessa pesquisa sobre as ideias e conhecimentos que Piero della Francesca tinha em geometria, em que documentos e quais deles influenciaram na construção do tratado Libellus de Quinque Corporibus Regularibus, a partir do contato com escritos euclidianos, trará uma nova perspectiva na realização de sua análise, já que serão considerados aspectos historiográficos, epistemológicos e de ciência e sociedade. Além disso, esse trabalho contribuirá para o grupo de pesquisa “História da Ciência e Techné”, em que se discute, entre outros assuntos, as ideias de técnicas na História da Ciência.
Para realizar a leitura e análise do tratado Libellus de Quinque Corporibus Regularibus, haverá um apoio na literatura secundária, procurando-se compreender a sociedade em que Piero della Francesca viveu, em que círculos de relações pessoais de trabalho e de estudos ele tomava parte e como teve acesso a conhecimentos de geometria produzidos anteriormente e durante sua vida.

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  1. Burke, O Renascimento Italiano, 9.
  2. Ibid, 10.
  3. Garin, Ciência e vida civil no Renascimento italiano, 21-23.
  4. Debus, Man and nature in the renaissance, 9.
  5. Burke, O Renascimento Italiano.
  6. Davis, Piero della Francesca’s Mathematical Treatises, 28-30.
  7. Laskowski, Piero della Francesca, 6-9.
  8. Field, “Alberti, the Abacus and Piero della Francesca’s proof of perspective”, 72-3.
  9. Ibid 74-5.
  10. Lindberg, John Pecham and the Science of Optics.
  11. Field, Renaissance and revolution: humanists, scholars, craftsmen and natural philosophers in early modern europe.
  12. Field, “Piero della Francesca’s Treatment of Edge Distortion”, 66-90.
  13. Laskowski, Piero della Francesca.
  14. Ginzburg, Investigando Piero: O Batismo, o ciclo de Arezzo, a Flagelação de Urbino.
  15. Longhi, Piero della Francesca.

 


por Vagner Rodrigues de Moraes – Matemático, Mestre em História da Ciência pela PUCSP e doutorando no Programa de Estudos Pós-graduados em História da Ciência da PUCSP.
Maria Helena Roxo Beltran – Profa. Dra. do Programa de Estudos Pós-graduados em História da Ciência.